题目内容

已知
m
=（sinωx+cosωx，
3
cosωx），
n
=（cosωx-sinωx，2sibωx），且ω＞0，设f（x）=
m
•
n
，f（x）的图象相邻两对称轴之间的距离等于
π
2
．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，b+c=4，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．
分析：（Ⅰ）利用向量数量积的坐标运算和条件列出解析式，根据倍角公式和两角和的正弦公式进行化简，由两个相邻的对称轴之间的距离是周期的一半，求出ω的值；
（Ⅱ）根据f（A）=1和A的范围，求出A的值，代入三角形面积公式S△ABC=
1
2
bcsinA，根据b+c=4和基本不等式求出面积的最大值，注意等号成立的条件是否取到．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos2ωx-sin2ωx+2
3
sinωxcosωx
=cos2ωx+
3
sin2ωx
=2sin（2ωx+
π
6
）（4分）
∵f（x）的图象相邻两对称轴之间的距离等于
π
2
，
∴
π
2ω
=
π
2
，解得ω=1，∴f（x）=2sin（2x+
π
6
）．（6分）
（Ⅱ）∵f（A）=1，∴sin（2A+
π
6
）=
1
2
，
∵0＜A＜π，∴
π
6
＜2A+
π
6
＜
13π
6
，∴2A+
π
6
=
5π
6
，解得A=
π
3
．（8分）
∵b+c=4，∴S△ABC=
1
2
bcsinA=
3
4
bc≤
3
4
(
b+c
2
)2=
3
（10分）
当且仅当b=c=2等号成立，故S△ABC面积最大值为
3
．（12分）
点评：本题的考点是三角函数解析式的求法以及基本不等式的应用，应先对解析式化简再把条件代入，利用知识点有倍角公式和两角和的正弦公式，正弦函数的性质，以及利用基本不等式求最值问题，注意等号成立的条件．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知
m
=（sinωx+cosωx，2sinωx），
n
=（cosωx-sinωx，
3
cosωx），（ω＞0），若f（x）=
m
•
n
且f(
π
3
-x)=f(x)，f（x）在（0，
π
3
）内有最大值无最小值．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，f（A）=1，其面积S△ABC=
3
，求△ABC周长的最小值．
已知向量
a
=(sin(ωx+?)，2)，
b
=(1，cos(ωx+?))，(ω＞0，0＜?＜
π
2
)．函数f(x)=(
a
+
b
)•(
a
-
b
)的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点M(1，
7
2
)．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值．
（2013•黄埔区一模）已知函数y=sin(ωx+
π
3
)(ω＞0)的最小正周期为π，若将该函数的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象关于原点对称，则m的最小值为
π
3
π
3
．

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