Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若，令，若，是的两个极值点，且，求正实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）t .

【解析】

（I）求出导函数，按的正负分类，讨论的符号得单调区间；

（II）求出，当时，，单调递减，无极值点，当时，可由求根公式求出的两根，可确定为极小值点，为极大值点.同时确定出的范围是，计算，令，，仍然用导数来研究的单调性，得出时的范围，也即能得出的范围.

（Ⅰ）由， ，则，

当时，则，故在上单调递减；

当时，令，所以在上单调递减，在上单调递增.

综上所述：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（Ⅱ），

故，当时，恒成立，故在上单调递减，不满足有两个极值点，故.

令，得，

又有两个极值点；故有两个根.

故且或；

且为极小值点，为极大值点.

故

令，由或得

令，

当时，，则在上单调递增，故，则时成立；

当时，，则在上单调递增，故，则时；

综上所述： .