Question

已知f（x）=x⁴-2ax²，若|f′（x）|≤1在区间[0，1]上恒成立，则实数a的取值集合为

{a|

3

4

≤a≤3

3	1 4

}

．

Answer 1

分析：由题意判断 a＞0，由|f′（x）|≤1恒成立，可得a≤x² +

1

4x

恒成立，且 a≥x² -

1

4x

恒成立．令h（x）=x² +

1

4x

，t（x）=x² -

1

4x

，则a小于或等于h（x）的最小值，且a大于或等于t（x）的最大值，求出h（x）的最小值和t（x）的最大值，即可得到实数a的取值集合．

解答：解：∵f（x）=x⁴-2ax²，∴f′（x）=4x³-4ax=4x（x²-a）．
∵当x∈[0，1]时，|f′（x）|≤1，
当a≤0时，|f′（x）|=4x（x²-a），在[0，1]上是增函数，f′（0）=0，f′（1）=4（1-a）≤1，此时，a 无解．
故 a＞0．
由|f′（x）|≤1恒成立，可得-1≤f′（x）|≤1，即-1≤4x（x²-a）≤1．
化简可得-

1

4x

≤x²-a≤

1

4x

，∴a≤x² +

1

4x

 恒成立，且 a≥x² -

1

4x

 恒成立．
令h（x）=x² +

1

4x

，t（x）=x² -

1

4x

．
则a小于或等于h（x）的最小值，且a大于或等于t（x）的最大值．
由h（x）=x² +

1

4x

=x² +

1

2x

+

1

2x

≥3

3	x2• 1 2x • 1 2x

=3

3	1 4

，当且仅当 x²=

1

2x

，即 x=

3	1 2

时，等号成立．
∴a≤3

3	1 4

①．
由于 t（x）=x² -

1

4x

 在[0，1]上是增函数，故t（x）的最大值为 t（1）=

3

4

，∴a≥

3

4

 ②．
由①②可得实数a的取值集合为{a|

3

4

≤a≤3

3	1 4

}，
故答案为 {a|

3

4

≤a≤3

3	1 4

}．

点评：本题主要考查求函数的导数，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，求函数的最值，属于中档题．