题目内容
如图，在?OABP中，过点P的直线与线段OA、OB分别交与点M、N，若| OM |
| OA |
| ON |
| OB |
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的值域．
分析：（1）应充分利用平面向量的基本定理，找准基底将向量
、
分别利用基底表示，再结合向量的共线即可获得问题的解答．
（2）结合反比例函数的单调性，及函数图象的平移变换法则，可分析出f（x）的单调性，进而求出f（x）的值域
| OA |
| OB |
（2）结合反比例函数的单调性，及函数图象的平移变换法则，可分析出f（x）的单调性，进而求出f（x）的值域
解答：解：（1）∵P，M，N三点共线，
=x•
，
=y•
．
则
=λ
+（1-λ）
=λx•
+（1-λ）（
-
），
∴y•
=（1-λ）
+（λx-1+λ）•
∴y=1-λ，λx-1+λ=0
∴y=1-
=
（x≥0）
（2）∵y=
在（0，+∞）上为增函数
∴y=
在[0，+∞）上为增函数
∴y=1-
在[0，+∞）上为增函数
∴y∈[0，1）
故函数求f（x）的值域为[0，1）
| OM |
| OA |
| ON |
| OB |
则
| ON |
| OM |
| OP |
| OA |
| OB |
| OA |
∴y•
| OB |
| OB |
| OA |
∴y=1-λ，λx-1+λ=0
∴y=1-
| 1 |
| 1+x |
| x |
| 1+x |
（2）∵y=
| -1 |
| x |
∴y=
| -1 |
| x+1 |
∴y=1-
| 1 |
| 1+x |
∴y∈[0，1）
故函数求f（x）的值域为[0，1）
点评：本题考查的知识点是平面向量的应用，其中三点共线的充要条件即P，M，N三点共线时
=λ
+（1-λ）
是解答本题的关键．
| ON |
| OM |
| OP |
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如图，在平行四边形OABP中，过点P的直线与线段OA、OB分别相交于点M、N，若
=x
，
=y
+x，判断F（x）的单调性，并给出你的证明．
=x•
，
=y•
．
=x•
，
=y•
．