Question

【题目】已知．

（Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若，证明：，恒成立．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（Ⅰ）．

由函数在上单调递增，可得在上恒成立，

即，得． -----------------2分

记（），则．

当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．

所以． -----------------5分

所以实数的取值范围为． ---------------------------6分

（Ⅱ）设．

则，

记，则，

故当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增． ------------9分

又，，所以，使得，即．

所以当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增．

而，

所以时，，即恒成立． -----------------13分

【命题意图】本题考查导数与函数的单调性、不等式的证明等，考查基本的逻辑推理能力、运算能力以及数学应用意识等．