Question

在正三棱锥P-ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，AB=4，PA=8，过A作与PB，PC分别交于D和E的截面，则截面△ADE的周长的最小值是    ．

Answer 1

【答案】分析：画出正三棱锥P-ABC侧面展开图，将问题转化为求平面上两点间的距离最小值问题，不难求得结果．
解答：解：三棱锥的侧面展开图，如图，
△ADE的周长的最小值为AA₁，
在△PAB中，sin∠APB=，∴cos∠APB=1-2sin²∠APB=，
在△APA₁中，∴sin∠APA₁=sin（∠APB+∠APB）=sin∠APBcos∠APB+cos∠APBsin∠APB=+×=，
所以AA₁=2PA×sin∠APA₁=11，
故答案为：11．
点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点之间的距离问题，是解答本题的关键．