Question

在正三棱锥P-ABC中，AB=

2

，PA=

3

+1，过点A作截面交PB，PC分别于D，E，则截面△ADE的周长的最小值是

6

+

2

．

Answer 1

分析：画出正三棱锥P-ABC侧面展开图，将问题转化为求平面上两点间的距离最小值问题，求出∠APB与∠APA₁，即可求得结果．

解答：解：三棱锥的侧面展开图，如图，
△ADE的周长的最小值为AA₁，
在△PAB中，sin

1

2

∠APB=

2 2

3 +1

=

6 - 2

4

，∴

1

2

∠APB=15°，
∠APB=30°，
在△APA₁中，∴sin∠APA₁=sin90°=1，
所以AA₁=

2

PA=

6

+

2

，
故答案为：

6

+

2

．

点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点之间的距离问题，是解答本题的关键．