Question

如图，在三棱锥中，，，点分别是的中点，底面．
（1）求证：平面；
（2）当时，求直线与平面所成角的大小；
（3）当为何值时，在平面内的射影恰好为的重心？

Answer 1

（1）证明见解析（2）与平面所成的角为．（3）当时，三棱锥为正三棱锥．在平面内的射影为的重心．

（1）证明：平面，
．
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

设，则．
设，则．
为的中点，．
，．
，平面．
（2），即，，

可求得平面的法向量．
．
设与平面所成的角为，
则．
与平面所成的角为．
（3）的重心，，
平面，．
又，．
．
，即．
反之，当时，三棱锥为正三棱锥．
在平面内的射影为的重心．