题目内容

已知点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）顺次为一次函数y=
1
4
x+
1
12
图象上的点，点列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、An（xn，0）（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形．
（1）求数列{yn}2的通项公式，并证明{yn}3是等差数列；
（2）证明xn+2-xn5为常数，并求出数列{xn}6的通项公式；
（3）问上述等腰三角形An8Bn9An+110中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．
分析：（1）利用点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）顺次为一次函数y=
1
4
x+
1
12
，可得数列{yn}的通项公式，进而有{yn}是等差数列；
（2）根据△AnBnAn+1与△An+1Bn+1An+2为等腰三角形，可得
xn+xn+1
2
=n
xn+1+xn+1
2
=n+1
，两式相减，即可求出数列{xn}的通项公式；
（3）要使△AnBnAn+1为直角三角形，则xn+1-xn=2(
n
4
+
1
12
)，根据（2）分n为奇数、偶数时，进行讨论，可求此时a值．
解答：解：（1）∵点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）顺次为一次函数y=
1
4
x+
1
12

∴yn=
1
4
n+
1
12

∴yn+1-yn=
1
4

∴{yn}是等差数列；
（2）∵△AnBnAn+1与△An+1Bn+1An+2为等腰三角形
∴
xn+xn+1
2
=n
xn+1+xn+1
2
=n+1
．∴xn+2-xn=2
∴xn=
n+a-1(n为奇数)
n-a(n为偶数)

（3）要使△AnBnAn+1为直角三角形，则xn+1-xn=2(
n
4
+
1
12
)
当n为奇数时，xn+1-xn=2（1-a），∴2(
n
4
+
1
12
)=2(1-a)
∴a=
11
12
-
n
4
(n为奇数，0＜a＜1)
n=1，得a=
2
3
，n=3得a=
1
6
，n≥5，则无解；
当n为偶数时，同理得a=
1
12
n
4
(n为偶数，0＜a＜1)
 n=2，得 a=
7
12
，n≥4，则无解；
∴存在直角三角形，此时a值为
2
3
，
1
6
，
7
12
点评：本题以函数为载体，考查数列知识，考查数列的通项，考查分类讨论思想，有较强的综合性．
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（Ⅰ）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
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Bn为顶点的等腰三角形．
（1）求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列；
（2）试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式；
（3）在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．
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（1）证明：数列{yn}是等差数列；
（2）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
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1
an•(
3
2
+cn)
}的前n项和为Sn，求证：
2
3
≤Sn＜
4
3
．

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