Question

设x²+y²=2的切线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于点A、B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为（　　）

A．x-y-2=0

B．y-x-2=0

C．x+y-2=0

D．y±x-2=0

Answer 1

分析：设出直线方程，由直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，化简可得a与b的关系式，利用此关系式把|AB|²进行变形，利用基本不等式求出|AB|²的最小值，且得到取最小值时a与b的值，把此时a与b的值代入所设的方程中，即可确定出切线的方程．

解答：解：设A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
则切线的方程为

x

a

+

y

b

=1
∵圆x²+y²=2的圆心坐标为（0，0），半径r=

2

，l与圆相切，
∴圆心到直线的距离d=

|-ab|

a2+b2

=

2

∴

2(a2+b2)

=ab
∴ab≥4，当且仅当a=b时取等号
∴|AB|=

a2+b2

=

ab

2

≥2

2

∴|AB|的最小值为2

2

，此时a=b=2，切线方程为x+y-2=0．
故选C．

点评：本题考查圆的切线方程，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．