题目内容

设f（x）= $数学公式$ ， $数学公式$ =（2cosx，1）， $数学公式$ =（cosx， $数学公式$ sin2x），x∈R．
（I）若f（x）=0且x∈[- $数学公式$ ， $数学公式$ ]，求x的值
（II）g（x）=cos（ωx- $数学公式$ ）+k与f（x）的最小正周期相同，g（x）经过（ $数学公式$ ），求g（x）的值域以及单调增区间．

解：（I）f（x）= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$
又因为x∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，所以 $\text{[math]}$
可得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$
（II）由（I）知 $\text{[math]}$
因为g（x）与f（x）的最小正周期相同
所以ω=2，又因为g（x）图象经过（ $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$
即1+k=2，故k=1
所以 $\text{[math]}$ ，因此g（x）的值域为[0，2]
再解不等式 $\text{[math]}$ 得， $\text{[math]}$
所以函数g（x）的单调增区间为[ $\text{[math]}$ ]，其中k∈Z
分析：（I）由平面向量数量积的坐标表达式，得出f（x）的解析式，将其化为形如Asin（ωx+φ）+k（A、ω、φ、k是常数）的形式，再解方程f（x）=0可得x的值；
（II）由f（x）的周期，得出g（x）的ω值，再解方程g（ $\text{[math]}$ ）=2，解出k的值，可以得出g（x）的表达式，最后利用余弦函数的图象与性质可得g（x）的值域以及单调增区间．
点评：本题考查了三角函数的综合题，关键是利用三角恒等变换的公式对解析式进行化简，再由条件进行求角的三角函数值，考查了知识的综合应用能力．