Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+4，集合A={x|f（x）=x}．
（1）若A={1}，求f（x）；
（2）若1∈A，且1≤a≤2，设f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值、最小值分别为M、m，记g（a）=M-m，求g（a）的最小值．

Answer 1

分析：（1）可得ax²+（b-1）x+4=0有两等根为1，故

a+(b-1)+4=0 △=(b-1)2-16a=0

，解之代入可得；
（2）由题意可得b=-3-a代入解析式配方可得∴f（x）=a(x-

a+3

2a

)2-

a

4

-

9

4a

+

5

2

，结合范围可得M，m，可得g（a），由函数的单调性可得答案．

解答：解：（1）∵A={1}，∴ax²+（b-1）x+4=0有两等根为1．…（2分）
∴

a+(b-1)+4=0 △=(b-1)2-16a=0

，解得

a=4 b=-7

，
∴f（x）=4x²-7x+4．…（4分）
（2）∵1∈A，∴a+（b-1）+4=0，∴b=-3-a．…（5分）
∴f（x）=ax²-（a+3）x+4=a(x-

a+3

2a

)2-

a

4

-

9

4a

+

5

2

．
∵1≤a≤2，∴对称轴为x=

a+3

2a

∈[

5

4

，2]．
∵x∈[

1

2

，2]，∴M=f(

1

2

)=-

a

4

+

5

2

，m=-

a

4

-

9

4a

+

5

2

．…（8分）
∴g(a)=M-m=

9

4a

，由g（a）在[1，2]单调递减
可得当a=2时，函数取最小值g(a)min=g(2)=

9

8

．…（10分）

点评：本题考查二次函数在闭区间的最值，涉及二次方程与二次函数的关系，以及分式函数的单调性，属中档题．