题目内容
设f（x）=a•（log2x）2+b•log2x+1（a，b＞为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．（1） 若f（
| 1 |
| 2 |
（2） 在（1）的条件下，若g（x）=
| f(x)+k-1 |
| log2x |
分析：（1）利用二次函数的最小值公式求出最小值令其为0，列出方程组求出a，b的值；利用奇函数的定义求出x＜0的解析式；求出F（0），得到F（x）的解析式．
（2）令log2x=t，将g（x）转化为不含对数的函数的单调性问题，求出导函数，令导函数大于等于0或小于等于0恒成立，分离出k转化为函数的最值，求出k的范围
（2）令log2x=t，将g（x）转化为不含对数的函数的单调性问题，求出导函数，令导函数大于等于0或小于等于0恒成立，分离出k转化为函数的最值，求出k的范围
解答：解：∵f(
)=0，f(x)的最小值为0
∴
解得
设x＜0则-x＞0
∴F（-x）=f（-x）=[log2（-x）]2+2log2（-x）+1
∵F（x）为R上的奇函数
∴F（x）=-F（x）=-[log2（-x）]2-2log2（-x）-1
∵F（x）为奇函数
∴F（0）=0
∴F(x)=
（2）∴g(x)=
令log2x=t，t∈[1，2]则y=
，t∈[1，2]是单调函数
∴y′=
≥0或y′=
≤ 0（ t∈[1，2]）恒成立
∴k≤t2或k≥t2，t∈[1，2]恒成立
∴k≤1或k≥4
故答案为F(x)=
；k≤1或k≥4
| 1 |
| 2 |
∴
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解得
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设x＜0则-x＞0
∴F（-x）=f（-x）=[log2（-x）]2+2log2（-x）+1
∵F（x）为R上的奇函数
∴F（x）=-F（x）=-[log2（-x）]2-2log2（-x）-1
∵F（x）为奇函数
∴F（0）=0
∴F(x)=
|
（2）∴g(x)=
| [log2(x)]2+2log2 (x)+k |
| log2x |
令log2x=t，t∈[1，2]则y=
| t2+2t+k |
| t |
∴y′=
| t2-k |
| t2 |
| t2-k |
| t2 |
∴k≤t2或k≥t2，t∈[1，2]恒成立
∴k≤1或k≥4
故答案为F(x)=
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点评：本题考查求函数解析式的方法：待定系数法，直接法、考查奇函数的定义、考查知函数的单调性求参数的范围常转化为导函数大于等于0或小于等于0恒成立、考查解决恒成立问题常分离参数求函数的最值．
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