Question

已知抛物线（）焦点为，其准线与轴交于点，以、为焦点，离心率为的椭圆与抛物线在轴上方的一个交点为．

（1）当时，求椭圆的标准方程及其右准线的方程；

（2）用表示P点的坐标；

（3）是否存在实数，使得的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)   (2)  (3) 存在实数m使的边长是连续的自然数

解析:

∵的右焦点   ∴椭圆的半焦距，又，∴椭圆的长半轴的长，短半轴的长.  椭圆方程为. ------4分

（Ⅰ）当时，故椭圆方程为-------5分

(直接将m=1的值代入条件求对也给5分)

右准线方程为：. ---------------6分

（Ⅱ）由，解得：…………10分

（Ⅲ）假设存在满足条件的实数， 由（Ⅱ）知

∴，，又.

即的边长分别是、、 .    ---------------14分

∴，

故存在实数m使的边长是连续的自然数。---------------16分