Question

已知椭圆的离心率为，右焦点为（，0），斜率为I的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（I）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据椭圆离心率为，右焦点为（，0），可知c=，可求出a的值，再根据b²=a²-c²求出b的值，即可求出椭圆G的方程；
（II）设出直线l的方程和点A，B的坐标，联立方程，消去y，根据等腰△PAB，求出直线l方程和点A，B的坐标，从而求出|AB|和点到直线的距离，求出三角形的高，进一步可求出△PAB的面积．
解答：解：（I）由已知得，c=，，
解得a=，又b²=a²-c²=4，
所以椭圆G的方程为．
（II）设直线l的方程为y=x+m，
由得4x²+6mx+3m²-12=0．①
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x1＜x₂），AB的中点为E（x，y），
则x==-，
y=x+m=，
因为AB是等腰△PAB的底边，
所以PE⊥AB，
所以PE的斜率k=，
解得m=2．
此时方程①为4x²+12x=0．
解得x₁=-3，x₂=0，
所以y₁=-1，y₂=2，
所以|AB|=3，此时，点P（-3，2）．
到直线AB：y=x+2距离d=，
所以△PAB的面积s=|AB|d=．
点评：此题是个中档题．考查待定系数法求椭圆的方程和椭圆简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．