题目内容

已知向量
.
m
=（
3
sin
x
4
，1），
.
n
=（cos
x
4
，cos2
x
4
），f（x）=
.
m
•
.
n
．
（1）若f（x）=1，求cos（x+
π
3
）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC+
1
2
c=b，求函数f（B）的取值范围．
（1）∵
m
=（
3
sin
x
4
，1），
n
=（cos
x
4
，cos2
x
4
），
∴f（x）=
m
•
n
=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos2
x
4
=
3
2
sin
x
2
+
1
2
cos
x
2
+
1
2
=sin（
x
2
+
π
6
）+
1
2
，
又f（x）=1，
∴sin（
x
2
+
π
6
）=
1
2
，（4分）
∴cos（x+
π
3
）=cos2（
x
2
+
π
6
）=1-2sin2（
x
2
+
π
6
）=
1
2
；（6分）
（2）∵cosC=
a2+b2-c2
2ab
，acosC+
1
2
c=b，
∴a•
a2+b2-c2
2ab
+
1
2
c=b，即b2+c2-a2=bc，
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
，
又∵A∈（0，π），∴A=
π
3
，（10分）
又∵0＜B＜
2π
3
，
∴
π
6
＜
B
2
+
π
6
＜
π
2
，
∴f（B）∈（1，
3
2
）．（12分）
练习册系列答案
相关题目
已知向量
 m 
=(2cosα ， 2sinα)，
 n 
=(3cosβ ， 3sinβ)，若
 m 
与
 n 
的夹角为60°，则直线 xcosα-ysinα+
1
2
=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=
1
2
的位置关系是（　　）
A、相交但不过圆心B、相交过圆心
C、相切D、相离
已知向量
m
=(-1，cosωx+
3
sinωx)，
n
=(f(x)，cosωx)，其中ω＞0，且
m
⊥
n
，又函数f（x）的图象任意两相邻对称轴间距为
3
2
π．
（Ⅰ）求ω的值．
（Ⅱ）设α是第一象限角，且f(
3
2
α+
π
2
)=
23
26
，求
sin(α+
π
4
)
cos(π+2α)
的值．
已知向量
m
=(
3
sinωx，0)，
n
=(cosωx，-sinωx)（ω＞0），在函数f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为
π
4
，且当x∈[0，
π
3
]时，f（x）的最大值为
3
2
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．
已知向量
m
=(cosθ，sinθ)，
n
=(1-
3
sinθ，
3
cosθ)，θ∈（0，π），若|
m
+
n
|=2
2
，求cos(
θ
2
+
π
6
)的值．
已知向量
m
=(
3
sinωx，0)，
n
=(cosωx，-sinωx)(ω＞0)，在函数f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t的图象上，对称中心到对称轴的最小距离为
π
4
，且当x∈[0，
π
3
]时f（x）的最小值为
3
2
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若对任意x1，x2∈[0，
π
3
]都有|f（x1）-f（x2）|＜m，求实数m的取值范围．

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