题目内容
已知向量
=(
sinωx，0)，
=(cosωx，-sinωx)（ω＞0），在函数f(x)=
•(
+
)+t的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为
，且当x∈[0，
]时，f（x）的最大值为
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．
| m |
| 3 |
| n |
| m |
| m |
| n |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．
分析：（Ⅰ）利用向量的数量积的坐标运算可求得f（x）=
sin（2ωx-
）+
+t，依题意可求得其周期T=π，从而可得ω；再由正弦函数的单调性与最值可求得t，从而可得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=
sin（2x-
），令2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
（k∈Z）即可求得f（x）的单调递增区间．
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）∵
=（
sinωx，0），
=（cosωx，-sinωx），
∴f（x）=
•（
+
）+t
=（
sinωx，0）•（
sinωx+cosωx，-sinωx）+t
=
sinωx（
sinωx+cosωx）+t
=3sin2ωx+
sinωx•cosωx+t
=3•
+
sin2ωx+t
=
sin（2ωx-
）+
+t…（4分）
∵函数f（x）对称中心到对称轴最小距离为
∴f（x）周期为T=4×
=π=
，
∴ω=1…（6分）
∴f（x）=
sin（2x-
）+
+t
∵0≤x≤
，
∴0≤2x≤
，
∴-
≤2x-
≤
∴-
≤sin（2x-
）≤
，
-
≤
sin（2x-
）≤
，
∴f（x）最大值为
+
+t=
，
∴t=-
．
∴f（x）=
sin（2x-
）…（10分）
（Ⅱ）令2kπ-
≤2x-
≤2kπ+
…（12分）
2kπ-
≤2x≤2kπ+
kπ-
≤x≤kπ+
（k∈Z），
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]（k∈Z） …（14分）
| m |
| 3 |
| n |
∴f（x）=
| m |
| m |
| n |
=（
| 3 |
| 3 |
=
| 3 |
| 3 |
=3sin2ωx+
| 3 |
=3•
| 1-cos2ωx |
| 2 |
| ||
| 2 |
=
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∵函数f（x）对称中心到对称轴最小距离为
| π |
| 4 |
∴f（x）周期为T=4×
| π |
| 4 |
| 2π |
| 2ω |
∴ω=1…（6分）
∴f（x）=
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∵0≤x≤
| π |
| 3 |
∴0≤2x≤
| 2π |
| 3 |
∴-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴-
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
-
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
∴f（x）最大值为
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴t=-
| 3 |
| 2 |
∴f（x）=
| 3 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
2kπ-
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
kπ-
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查向量的数量积的坐标运算，突出考查正弦函数的单调性与最值，考查推理与运算的能力，属于中档题．
练习册系列答案
名师指导期末冲刺卷系列答案
相关题目