题目内容
已知向量
=(
sinωx,0),
=(cosωx,-sinωx)(ω>0),在函数f(x)=
•(
+
)+t的图象上,对称中心到对称轴的最小距离为
,且当x∈[0,
]时f(x)的最小值为
.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)若对任意x1,x2∈[0,
]都有|f(x1)-f(x2)|<m,求实数m的取值范围.
m |
3 |
n |
m |
m |
n |
π |
4 |
π |
3 |
3 |
2 |
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)若对任意x1,x2∈[0,
π |
3 |
分析:(1)化简函数f(x)=
•(
+
)+t的解析式,根据它的
周期等于
,求出ω的值,再根据当x∈[0,
]时f(x)的最小值为
,求出t的值,即可得到f(x)的解析式.
(2)令-
+2kπ≤2x-
≤
+2kπ,k∈Z,解出x的范围,即可得到单调递增区间.
(3)当x∈[0,
]时,求得f(x)的最大值为
,最小值为
,可得|f(x1)-f(x2)|的最大值为3,由此得到实数m的取值范围.
m |
m |
n |
1 |
4 |
π |
4 |
π |
3 |
3 |
2 |
(2)令-
π |
2 |
π |
3 |
π |
2 |
(3)当x∈[0,
π |
3 |
9 |
2 |
3 |
2 |
解答:解:(1)∵
+
=(
sinωx+cosωx,-sinωx),
∴f(x)=
•(
+
)+t=
sinωx(
sinωx+cosωx)+t
=3sin2ωx+
sinωxcosωx+t=
+
sin2ωx+t=
sin2ωx-
cos2ωx+
+t=
sin(2ωx-
)+
+t,
由题意可得
=
,∴ω=1.
∵0≤x≤
,∴-
≤2x-
≤
.
又f(x)的最小值为
=
×(-
)+
+t,
∴t=
,
故 f(x)=
sin(2x-
)+3.
(2)令-
+2kπ≤2x-
≤
+2kπ,k∈Z,可得-
+2kπ≤2x≤
+2kπ,k∈Z,
∴-
+kπ≤x≤
+kπ,k∈Z,
即单调递增区间为:[-
+kπ,
+kπ],k∈Z.
(3)当x∈[0,
]时,f(x)的最大值为
×(
)+
+
=
,最小值为
,
∴|f(x1)-f(x2)|的最大值为
-
=3.
∵对任意x1,x2∈[0,
]都有|f(x1)-f(x2)|<m,
∴m>3,即实数m的取值范围为(3,+∞).
m |
n |
3 |
∴f(x)=
m |
m |
n |
3 |
3 |
=3sin2ωx+
3 |
3(1-cos2ωx) |
2 |
| ||
2 |
| ||
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
π |
3 |
3 |
2 |
由题意可得
T |
4 |
π |
4 |
∵0≤x≤
π |
3 |
π |
3 |
π |
3 |
π |
3 |
又f(x)的最小值为
3 |
2 |
3 |
| ||
2 |
3 |
2 |
∴t=
3 |
2 |
故 f(x)=
3 |
π |
3 |
(2)令-
π |
2 |
π |
3 |
π |
2 |
π |
6 |
5π |
6 |
∴-
π |
12 |
5π |
12 |
即单调递增区间为:[-
π |
12 |
5π |
12 |
(3)当x∈[0,
π |
3 |
3 |
| ||
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
9 |
2 |
3 |
2 |
∴|f(x1)-f(x2)|的最大值为
9 |
2 |
3 |
2 |
∵对任意x1,x2∈[0,
π |
3 |
∴m>3,即实数m的取值范围为(3,+∞).
点评:本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,两个向量的数量积的定义,正弦函数的定义域和值域、周期性及单调性的应用,属于中档题.
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