题目内容

已知向量
m
=(
3
sinωx,0),
n
=(cosωx,-sinωx)(ω>0)
,在函数f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t
的图象上,对称中心到对称轴的最小距离为
π
4
,且当x∈[0,
π
3
]
时f(x)的最小值为
3
2

(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)若对任意x1,x2∈[0,
π
3
]都有|f(x1)-f(x2)|<m,求实数m的取值范围.
分析:(1)化简函数f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t
的解析式,根据它的
1
4
周期等于
π
4
,求出ω的值,再根据当x∈[0,
π
3
]
时f(x)的最小值为
3
2
,求出t的值,即可得到f(x)的解析式.
(2)令-
π
2
+2kπ≤2x-
π
3
π
2
+2kπ,k∈Z
,解出x的范围,即可得到单调递增区间.
(3)当x∈[0,
π
3
]
时,求得f(x)的最大值为
9
2
,最小值为
3
2
,可得|f(x1)-f(x2)|的最大值为3,由此得到实数m的取值范围.
解答:解:(1)∵
m
+
n
=(
3
sinωx+cosωx,-sinωx)

f(x)=
m
•(
m
+
n
)+t=
3
sinωx(
3
sinωx+cosωx)+t
 
=3sin2ωx+
3
sinωxcosωx+t
=
3(1-cos2ωx)
2
+
3
2
sin2ωx+t
=
3
2
sin2ωx-
3
2
cos2ωx+
3
2
+t=
3
sin(2ωx-
π
3
)+
3
2
+t

由题意可得
T
4
=
π
4
,∴ω=1. 
0≤x≤
π
3
,∴-
π
3
≤2x-
π
3
π
3

 又f(x)的最小值为
3
2
=
3
×(-
3
2
)+
3
2
+t,
t=
3
2

f(x)=
3
sin(2x-
π
3
)+3

(2)令-
π
2
+2kπ≤2x-
π
3
π
2
+2kπ,k∈Z
,可得-
π
6
+2kπ≤2x≤
6
+2kπ,k∈Z

-
π
12
+kπ≤x≤
12
+kπ,k∈Z

即单调递增区间为:[-
π
12
+kπ,
12
+kπ],k∈Z

(3)当x∈[0,
π
3
]
时,f(x)的最大值为 
3
×(
3
2
)+
3
2
+
3
2
=
9
2
,最小值为
3
2

∴|f(x1)-f(x2)|的最大值为
9
2
-
3
2
=3.
∵对任意x1,x2∈[0,
π
3
]都有|f(x1)-f(x2)|<m,
∴m>3,即实数m的取值范围为(3,+∞).
点评:本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,两个向量的数量积的定义,正弦函数的定义域和值域、周期性及单调性的应用,属于中档题.
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