题目内容
已知向量
=(
sinωx，0)，
=(cosωx，-sinωx)(ω＞0)，在函数f(x)=
•(
+
)+t的图象上，对称中心到对称轴的最小距离为
，且当x∈[0，
]时f（x）的最小值为
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若对任意x1，x2∈[0，
]都有|f（x1）-f（x2）|＜m，求实数m的取值范围．
| m |
| 3 |
| n |
| m |
| m |
| n |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）若对任意x1，x2∈[0，
| π |
| 3 |
分析：（1）化简函数f(x)=
•(
+
)+t的解析式，根据它的
周期等于
，求出ω的值，再根据当x∈[0，
]时f（x）的最小值为
，求出t的值，即可得到f（x）的解析式．
（2）令-
+2kπ≤2x-
≤
+2kπ，k∈Z，解出x的范围，即可得到单调递增区间．
（3）当x∈[0，
]时，求得f（x）的最大值为
，最小值为
，可得|f（x1）-f（x2）|的最大值为3，由此得到实数m的取值范围．
| m |
| m |
| n |
| 1 |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
（2）令-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
（3）当x∈[0，
| π |
| 3 |
| 9 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
解答：解：（1）∵
+
=(
sinωx+cosωx，-sinωx)，
∴f(x)=
•(
+
)+t=
sinωx(
sinωx+cosωx)+t
=3sin2ωx+
sinωxcosωx+t=
+
sin2ωx+t=
sin2ωx-
cos2ωx+
+t=
sin(2ωx-
)+
+t，
由题意可得
=
，∴ω=1．
∵0≤x≤
，∴-
≤2x-
≤
．
又f（x）的最小值为
=
×（-
）+
+t，
∴t=
，
故 f(x)=
sin(2x-
)+3．
（2）令-
+2kπ≤2x-
≤
+2kπ，k∈Z，可得-
+2kπ≤2x≤
+2kπ，k∈Z，
∴-
+kπ≤x≤
+kπ，k∈Z，
即单调递增区间为：[-
+kπ，
+kπ]，k∈Z．
（3）当x∈[0，
]时，f（x）的最大值为
×（
）+
+
=
，最小值为
，
∴|f（x1）-f（x2）|的最大值为
-
=3．
∵对任意x1，x2∈[0，
]都有|f（x1）-f（x2）|＜m，
∴m＞3，即实数m的取值范围为（3，+∞）．
| m |
| n |
| 3 |
∴f(x)=
| m |
| m |
| n |
| 3 |
| 3 |
=3sin2ωx+
| 3 |
| 3(1-cos2ωx) |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
由题意可得
| T |
| 4 |
| π |
| 4 |
∵0≤x≤
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
又f（x）的最小值为
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴t=
| 3 |
| 2 |
故 f(x)=
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）令-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴-
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
即单调递增区间为：[-
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
（3）当x∈[0，
| π |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴|f（x1）-f（x2）|的最大值为
| 9 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∵对任意x1，x2∈[0，
| π |
| 3 |
∴m＞3，即实数m的取值范围为（3，+∞）．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量的数量积的定义，正弦函数的定义域和值域、周期性及单调性的应用，属于中档题．
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