题目内容

已知向量
m
=(cosθ，sinθ)，
n
=(1-
3
sinθ，
3
cosθ)，θ∈（0，π），若|
m
+
n
|=2
2
，求cos(
θ
2
+
π
6
)的值．
分析：先求出
m
+
n
 的坐标，根据 |
m
+
n
|=2
2
 可得 sin(
π
6
-θ)=
3
4
，利用诱导公式求出 cos（
π
3
+θ）=
3
4
，再由半角公式求得 cos(
θ
2
+
π
6
)=
1+cos(
π
3
+
θ
2
)
2
 的值．
解答：解：∵|
m
+
n
|=2
2
，向量
m
=(cosθ，sinθ)，
n
=(1-
3
sinθ，
3
cosθ)，θ∈（0，π），
m
+
n
=（1-
3
sinθ+cosθ，sinθ+
3
cosθ）．
∴(1-
3
sinθ+cosθ)2+(sinθ+
3
cosθ)2=8，化简可得 2cosθ-2
3
sinθ=3，
∴sin(
π
6
-θ)=
3
4
．…（4分）
∴0＜θ＜
π
6
，且 cos（
π
3
+θ）=cos[
π
2
-（
π
6
-θ）]=sin(
π
6
-θ)=
3
4
．…（6分）
 故 cos(
θ
2
+
π
6
)=
1+cos(
π
3
+
θ
2
)
2
=
1+
3
4
2
=
7
8
=
14
4
． …（12分）
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，求向量的模的方法，两角和差的余弦公式、诱导公式、半角公式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
m
=(cos θ，sin θ)和
n
=(
2
-sin θ，cos θ)，θ∈（π，2π），且|
m
+
n
|=
8
2
5
，求sinθ和cos(
θ
2
+
π
8
)的值．
已知向量
m
=(cosα-
2
3
，-1)，
n
=(sinα，1)
m
∥
n
且α∈(-
π
2
，0)
（1）求sinα-cosα的值．
（2）求
1+sin2α+cos2α
1+tanα
的值．
已知向量
m
=(cosωx，sinωx)，
n
=(cosωx，
3
cosωx)，设函数f(x)=
m
•
n
．
（1）若f（x）的最小正周期是2π，求f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的图象的一条对称轴是x=
π
6
，（0＜ω＜2），求f（x）的周期和值域．
已知向量
m
=(cosα-
2
3
，-1)，
n
=(sinα，1)，
m
与
n
为共线向量，且α∈[-π，0]．
（Ⅰ）求sinα+cosα的值
（Ⅱ）求
sin2α
sinα-cosα
的值．

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