Question

已知函数f（x）满足f（log_ax）=

a

a2-1

(x-x-1)，a＞0且a≠1
（1）求f（x）的解析式，并判断f（x）的奇偶性；
（2）讨论f（x） 的单调性．

Answer 1

分析：（1）换元法：令t=log_ax，则x=a^t，代入函数式可得解析式，利用奇偶函数的定义可判断；
（2）分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论，利用指数函数的单调性可作出判断；

解答：解：（1）令t=log_ax，则x=a^t，
则f（t）=

a

a2-1

(at-a-t)，
所以f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，
函数定义域为R，且f（-x）=

a

a2-1

(a-x-ax)=-f（x），
故f（x）为奇函数；
（2）当a＞1时，a^-x递减，-a^-x递增，a^x递增，所以a^x-a^-x递增，
又

a

a2-1

＞0，所以f（x）在R上递增；
当0＜a＜1时，a^-x递增，-a^-x递减，且a^x递减，所以a^x-a^-x递减，
又

a

a2-1

＜0，故此时f（x）递增；
综上，当a＞0且a≠1时，f（x）在R上递增．

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断，属中档题．