Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为矩形， 平面， ，点为的中点，点在棱上移动.

（1）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；

（2）求证：无论点在的何处，都有；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）面；（2）详见解析；（3）.

【解析】试题分析：

(1)由于分别为的中点，可得，再根据线面平行的判定定理即可证明结果； (2)因为面，可得；由于为矩形，则，根据线面垂直的判定定理，可得面，进而可得.再由于，且为中点，可得，于是可证面，进而求证出结论；(3) 过作于， 于，连接，则即为所求二面角的平面角.然后再中即可求出的余弦值，即可求出二面角的余弦值.

试题解析：

(1)∵分别为的中点，

∴，∵面面，∴面.

(2)∵面面，∴.

∵为矩形，∴，∵，∴面，

∵面，∴.

∵，且为中点，∴.

∵，∴面，∵面，∴.

(3)

过作于， 于，连接，则即为所求.易得.

∵为矩形，∴，所以点到的距离为.

∵，∴，∵为中点，∴为中点，

∴.

在中.

∴，

即二面角的余弦值为.