Question

在平面直角坐标系中，已知点，P是动点，且三角形的三边所在直线的斜率满足．

（Ⅰ）求点P的轨迹的方程；

（Ⅱ）若Q 是轨迹上异于点的一个点，且，

直线与交于点M，问：是否存在点P使得和的面积满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（且）；（2）的坐标为

【解析】：（Ⅰ）由和斜率公式可求得轨迹方程；（Ⅱ）假设存在，根据条件，进行求解。

解：（Ⅰ）设点为所求轨迹上的任意一点，则由得，，整理得轨迹的方程为（且）。   ………4分

（Ⅱ）方法一、

设，

由可知直线，则，

故，即，      ………6分

由三点共线可知，

与共线，

∴　，                  

由（Ⅰ）知，故，         ………8分

同理，由与共线，

∴　，即，

由（Ⅰ）知，故，

将，代入上式得，

整理得，

由得，                         ………10分

由，得到，因为，所以，

由，得，∴的坐标为．                 ………12分

方法二、设

由可知直线，则，

故，即，　　                           ………6分

∴直线OP方程为：   ①；　                            …………8分

直线QA的斜率为：，　　             

∴直线QA方程为：，即， ②  …10分

联立①②，得，∴点M的横坐标为定值。

由，得到，因为，所以，

由，得，∴的坐标为．　　　　　　     ………12分

22【题文】已知函数，．

                        （Ⅰ）若函数，求函数的单调区间；

                        （Ⅱ）设直线为函数的图象上一点处的切线．证明：在区间上存在唯一的，使得直线与曲线相切．

【答案】（1）单调递增区间为

【解析】：（Ⅰ）求导，由导数可求得增区间，（Ⅱ）先写出切线方程，证明唯一。

解：（Ⅰ） ，

．             ……………………2分

∵且，

∴，

∴函数的单调递增区间为．   ……………………4分

   （Ⅱ）∵ ，∴，

∴ 切线的方程为，

     即，　　①                         ……………………6分

设直线与曲线相切于点，

∵，∴，∴．      ……………………8分

     ∴直线的方程为，

即，　　②               ……………………9分

    由①②得 ，

∴．                                       …………………11分

     下证：在区间上存在且唯一：

由（Ⅰ）可知，在在区间上递增．

 

又，，    ……………13分

    结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一．                                              

故结论成立．            ………………14分