Question

13．（1）已知f（x）=2x+a，g（x）=$\frac{1}{4}$（x²+3）．若 g[f（x）]=x²+x+1．求a的值．
（2）若函数f（x）的定义域为[0，1]．求g（x）=f（x+m）+f（x-m）（m＞0）的定义域．

Answer 1

分析 （1）将g（x）中的x换上2x+a即可得出g[f（x）]=${x}^{2}+ax+\frac{{a}^{2}+3}{4}$=x²+x+1，从而便可得出a=1；
（2）根据f（x）的定义域便知g（x）中的x满足：$\left\{\begin{array}{l}{0≤x+m≤1}\\{0≤x-m≤1}\end{array}\right.$，根据m＞0即可解出该不等式组，从而便可得到g（x）的定义域．

解答 解：（1）$g[f（x）]=g（2x+a）=\frac{1}{4}$[（2x+a）²+3]=${x}^{2}+ax+\frac{{a}^{2}+3}{4}={x}^{2}+x+1$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{\frac{{a}^{2}+3}{4}=1}\end{array}\right.$；
∴a=1；
（2）由f（x）的定义域得，要使g（x）有意义，则：
$\left\{\begin{array}{l}{0≤x+m≤1}\\{0≤x-m≤1}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m≤x≤1-m}\\{m≤x≤1+m}\end{array}\right.$；
∵m＞0；
∴m≤x≤1-m；
∴g（x）的定义域为[m，1-m]．

点评 考查已知f（x）求f[g（x）]的方法，多项式相等时，对应项的系数相等，以及函数定义域的概念，已知f（x）定义域，求f[g（x）]定义域的方法．