Question

已知函数，.

（Ⅰ）设，求的单调区间；

（Ⅱ）若对，总有成立.

（1）求的取值范围；

（2）证明：对于任意的正整数，不等式

恒成立.

Answer 1

解：（Ⅰ），定义域为，

，        …… 1分

（1）当时，令，，，

令， ；                      

（2）当时，令，则或， 

令， ；                         …… 3分                 

（3）当时，恒成立；              

（4）当时，令，则或，

令， ；                     …… 4分

综上：当时，的增区间为，的减区间为；

当时，的增区间为和，的减区间为；

当时，的增区间为；

当时，的增区间为和，的减区间为.  ……5分

（Ⅱ）（1）由题意，对任意，恒成立，即恒成立，

     只需.                             ……6分

由第（Ⅰ）知：                     

，显然当时， ，此时对任意，

不能恒成立； （或者分逐个讨论）               …… 8分

当时，，；

综上：的取值范围为.                         …… 9分

（2）证明：由（1）知：当时，，……10分

即，当且仅当时等号成立.

当时，可以变换为，                     …… 12分

在上面的不等式中，令，则有

不等式恒成立.