Question

设集合S_n={1，2，3，，n），若X是S_n的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为S_n的奇（偶）子集．
（I）写出S₄的所有奇子集；
（Ⅱ）求证：S_n的奇子集与偶子集个数相等；
（Ⅲ）求证：当n≥3时，S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和．

Answer 1

（I）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析

试题分析：（I）根据奇子集的定义可直接得出，注意应按规律一一列出以防重写或漏写。（Ⅱ）取S_n的任意一个奇子集可能含有1也可能不含1，当奇子集含有1时，令，当奇子集不含1时，令，则为的偶子集，且与相对应，反之也成立。因为与相对应即S_n的奇子集与偶子集个数相等。（Ⅲ）由（Ⅱ）知S_n的奇子集与偶子集个数相等，且S_n中每一个元素在奇子集与偶子集中出现的次数是相同的，所以S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。
试题解析：（I）
（Ⅱ）对于S_n的每个奇子集，
当时，取；当时，取。
则为的偶子集。
反之，若为的偶子集，
当时，取；当时，取。
则为的奇子集。
的奇子集与偶子集之间建立了一一对应的关系，所以的奇子集和偶子集的个数相等。
（Ⅲ）对于任意，
当时，含的的子集共有个。由（Ⅱ）可知，对每个数，在奇子集与偶子集中，所占的个数是相等的；
当时，将（Ⅱ）中的1换成3即可。
可知在奇子集与偶子集中占的个数是相等。
综合（1）（2），每个元素都是在奇子集与偶子集中占的个数相等。
所以S_n的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和。