Question

已知圆M:x²+y²-2mx-2ny+m²-1=0与圆N:x²+y²+2x+2y-2=0交于A、B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆M的半径最小时的圆M的方程.

Answer 1

解:由x²+y²-2mx-2ny+m²-1-(x²+y²+2x+2y-2)=0得直线AB的方程为2(m+1)x+2(n+1)y-m²-1=0.

依题意,有AB过圆N的圆心(-1,-1),

∴m²+2m+2n+5=0,即(m+1)²=-2(n+2).

故n≤-2.又圆M的半径r=,

∴r≥,r_min=,此时n=-2,m=-1.

故圆M的方程为(x+1)²+(y+2)²=5.