Question

已知圆M:x²+y²-2mx-2ny+m²-1=0与圆N:x²+y²+2x+2y-2=0交于A、B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆M的圆心轨迹方程,并求其中半径最小时圆M的方程.

Answer 1

思路解析：根据两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程,根据条件可知公共弦过圆N的圆心,代入即可找到m和n的关系式.

解：两圆方程相减可得公共弦所在直线AB方程:2(m+1)x+2(n+1)y-m²-1=0,依题意,直线AB过圆N的圆心(-1,-1),所以m²+2m+2n+5=0,即(m+1)²=-2(n+2)(n≤-2).所以圆M的圆心轨迹方程为(x+1)²=-2(y+2).又圆M的半径r=≥,且n=-2,m=-1时取到等号.所以r的最小值为.此时圆M方程为(x+1)²+(y+2)²=5.