Question

15．在等腰直角△ABC中，∠A=90°，BC=6，△ABC中排列着内接正方形，如图所示，若正方形的面积依次为S₁，S₂，…，S_n，…（从大到小），其中n∈N⁺，则$\underset{lim}{n→∞}$（S₁+S₂+…+S_n）=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 通过相似三角形的相似比可知任意两个正方形的边长比为定值，进而计算可知S_n=$\frac{4}{{9}^{n-1}}$，求和取极限即可．

解答 解：设最大的内接正方形EFDH的边长为x，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∴∠BEF=∠CHD=∠FBE=∠DCH=45°，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，BE=$\sqrt{2}$x，
∴AB=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x，
∴$\frac{EH}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{3}$，
又∵BC=6，
∴$\sqrt{{S}_{1}}$=EH=2，
∴数列{$\sqrt{{S}_{n}}$}构成首项为2，公比为$\frac{1}{3}$的等比数列，
∴S_n=$（\frac{2}{{3}^{n-1}}）^{2}$=$\frac{4}{{9}^{n-1}}$，
∴$\underset{lim}{n→∞}$（S₁+S₂+…+S_n）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{4（1-\frac{1}{{9}^{n}}）}{1-\frac{1}{9}}$=$\underset{lim}{n→∞}$（$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{9}^{n-1}}$）=$\frac{9}{2}$，
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查极限思想，找出数列的公比是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．