Question

【题目】设函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）讨论函数的零点个数

Answer 1

【答案】（1）当时，函数的增区间是和，减区间是；

当时，函数的增区间是，无减区间；

当时，函数的增区间是和，减区间是．

（2）当时，函数存在唯一零点．

【解析】

（1）根据利用导数求函数单调区间的步骤，先求出函数的导数，然后在定义域内解含参的不等式，分类讨论即可求出；

（2）由（1）可知函数的单调性，再结合零点存在性定理即可判断出函数的零点个数．

（1）函数的定义域为，

当时，由或，由；

当时，；

当时，由或，

综上，当时，函数的增区间是和，减区间是；

当时，函数的增区间是，无减区间；

当时，函数的增区间是和，减区间是．

（2）由（1）可知，

①当时，函数在和上递增，在上递减，

所以，，，但是，

当时，，存在，故，即在上存在唯一零点；

②当时，函数在递增，，，

即在上存在唯一零点；

③当时，函数在和上递增，在上递减，

所以，，，但是，

当时，，存在，故，即在上存在唯一零点．

综上，当时，函数存在唯一零点．