Question

已知f(x)=

x

4x+1

，数列{a_n}的首项a1=1，an+1=f(an)(n∈N*)
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

2n

an

，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞2012的最小正整数n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）an+1=f(an)=

an

4an+1

，

1

an+1

=4+

1

an

，

1

an+1

-

1

an

=4．故数列{

1

an

}是以1为首项，4为公差的等差数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）Sn=21+5×22+9×23+…+(4n-3)•2n，由此利用错位相减法能够求出Sn=(4n-7)•2n+1+14．从而能求出使S_n＞2012的最小正整数n．

解答：解：（Ⅰ）an+1=f(an)=

an

4an+1

，

1

an+1

=4+

1

an

，

1

an+1

-

1

an

=4．
数列{

1

an

}是以1为首项，4为公差的等差数列．…（3分）

1

an

=1+4(n-1)，
则数列{a_n}的通项公式为an=

1

4n-3

．…（6分）
（Ⅱ）Sn=21+5×22+9×23+…+(4n-3)•2n．…①
2Sn=22+5×23+9×24+…+(4n-3)•2n+1．…②
②-①并化简得Sn=(4n-7)•2n+1+14．…（10分）
易见S_n为n的增函数，S_n＞2012，
即（4n-7）•2ⁿ⁺¹＞1998．
满足此式的最小正整数n=6．…（12分）

点评：本题考查数列与函数的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意错位相减求和法的合理运用．