Question

已知函数f(x)=

3-x

4x+1

．
（1）求f（x）的定义域与值域（用区间表示） （2）求证f（x）在(-

1

4

，+∞)上递减．

Answer 1

分析：求定义域时要满足分母不能是0，即4x+1≠0
求函数f（x）的值域用分离常数法，想办法把分子上的x消掉，即，

3-4x

4x+1

=

1

4

×

12-4x

4x+1

=

1

4

×

-(4x+1)+13

4x+1

=-

1

4

+

13

4(4x+1)

证明一个函数递减时可用定义法来证．

解答：解：（1）要使函数有意义，则4x+1≠0，解得x≠-

1

4

．（2分）
所以原函数的定义域是（-∞，-

1

4

）∪（-

1

4

，+∞）（3分）y=

3-x

4x+1

=

1

4

×

12-4x

4x+1

=

1

4

×

-(4x+1)+13

4x+1

=-

1

4

+

13

4(4x+1)

≠-

1

4

+0=-

1

4

，（5分）
所以值域为（-∞，-

1

4

）∪（-

1

4

，+∞）．（6分）
（2）在区间(-

1

4

，+∞)上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

3-x1

4x1+1

-

3-x2

4x2+1

=

13(x2-x1)

(4x1+1)(4x2+1)

（8分）
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0（9分）
又x1，x2∈(-

1

4

，+∞)，∴4x₁+1＞0，4x₂+1＞0，（10分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x₁）＞f（x₂），（11分）
∴函数f（x）在(-

1

4

，+∞)上递减．（12分）

点评：函数的定义域、值域和单调性是考查的重点内容，尤其是证明函数单调性的定义法要掌握．