Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣kx+2，k∈R．
（1）若k=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＜2在R+上恒成立，求k的取值范围；
（3）若x1＞0，x2＞0，x1+x2＜ex1x2 ， 求证x1+x2＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），

∵ ，∴0＜x＜1，

∵ ，∴x＞1

故函数f（x）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）

（2）解：欲使f（x）＜2lnx﹣kx＜0＜在R+上恒成立，

只需k＞ 在R+上恒成立

设g（x）= （x＞0），g′（x）= ，

x∈（0，e），g′（x）＞0，g（x）为增函数，

x∈（e，+∞），g′（x）＜0，g（x）为减函数，

∴x=e时，g（e）= 是最大值，

只需 ＜k，即k＞

（3）解： 由（2）可知g（x）在（0，e）上单调增，

，即 ，

同理

相加得 ，

∴ ，

得：x1+x2＞1．

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为k＞ 在R+上恒成立，设g（x）= （x＞0），根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出k的范围即可；（3）根号g（x）的单调性，得到即 ， ，相加整理即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．