Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，其中底面ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥BC，且AP=AB=AD=2BC=6，M在棱PA上，满足AM=2MP．
（Ⅰ）求三棱锥M-BCD的体积；
（Ⅱ）求异面直线PC与AB所成角的余弦值；
（Ⅲ）证明：PC∥面MBD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求得 S_△BCD=S_ABCD-S_△ABD=

AB(BC+AD)

2

-

AB•AD

2

的值，且AM=4，再由VM-BCD=

1

3

S△BCD•MA运算求得结果．
（Ⅱ）取AD中点N，连CN，∠PCN或其补角就是PC与AB所成角．求得PC、CN、PN的值，利用余弦定理求得cos∠PCN=

2

3

，即可得到异面直线PC与AB所成角余弦值．
（Ⅲ）连AC交BD于Q，连MQ，利用平行线的性质可得

AQ

QC

=

AM

MP

，可得MQ∥PC，再根据直线和平面平行的判定定理证得 PC∥面MBD．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得，四边形ABCD为直角梯形，S_△BCD=S_ABCD-S_△ABD=

AB(BC+AD)

2

-

AB•AD

2

=27-18=9，且AM=4，
故VM-BCD=

1

3

S△BCD•MA=12．------（5分）
（Ⅱ）取AD中点N，连CN，PN，易知AB∥CN，∴∠PCN或其补角就是PC与AB所成角．------（7分）
在△PCN中，∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，∴PA⊥BC，PC=9，
又∵CN=AB=6，PN=3

5

，∴cos∠PCN=

2

3

，
∴异面直线PC与AB所成角余弦值为

2

3

．--------（10分）
（Ⅲ）连AC交BD于Q，连MQ，∵AD∥BC，∴

AQ

QC

=

AD

BC

=2．
又∵

AM

MP

=2，则

AQ

QC

=

AM

MP

，∴MQ∥PC．----------（13分）
又∵PC?面MBD，MQ?面MBD，
∴PC∥面MBD．----------（15分）

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求棱锥的体积，用间接解法求三角形的面积，异面直线所成的角的定义和求法，属于中档题．