Question

（2012•上海）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB=2，AD=2

2

，PA=2，求：
（1）三角形PCD的面积；
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）可以利用线面垂直的判定与性质，证明出三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形，然后在Rt△PAD中，利用勾股定理得到PD=2

3

，最后得到三角形PCD的面积S；
（2）[解法一]建立如图空间直角坐标系，可得B、C、E各点的坐标，从而

AE

=（1，

2

，1），

BC

=（0，2

2

，0），利用空间向量数量积的公式，得到

AE

与

BC

夹角θ满足：cosθ=

2

2

，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为

π

4

；
[解法二]取PB的中点F，连接AF、EF，△PBC中，利用中位线定理，得到EF∥BC，从而∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角，然后可以通过计算证明出：△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，所以∠AEF=

π

4

，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为

π

4

．

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴CD⊥PA．
∵矩形ABCD中，CD⊥AD，PA、AD是平面PDC内的相交直线．
∴CD⊥平面PDA，
∵PD?平面PDA，∴CD⊥PD，三角形PCD是以D为直角顶点的直角三角形．
∵Rt△PAD中，AD=2

2

，PA=2，
∴PD=

PA2+AD2

=2

3

．
∴三角形PCD的面积S=

1

2

×PD×DC=2

3

．
（2）[解法一]
如图所示，建立空间直角坐标系，可得B（2，0，0），C（2，2

2

，0），E（1，

2

，1）．
∴

AE

=（1，

2

，1），

BC

=（0，2

2

，0），
设

AE

与

BC

夹角为θ，则cosθ=

AE • BC

|AE| |BC|

=

4

2×2 2

=

2

2

，
∴θ=

π

4

，由此可得异面直线BC与AE所成的角的大小为

π

4

．
[解法二]
取PB的中点F，连接AF、EF、AC，
∵△PBC中，E、F分别是PC、PB的中点，
∴EF∥BC，∠AEF或其补角就是异面直线BC与AE所成的角．
∵Rt△PAC中，PC=

PA2+AC2

=4．
∴AE=

1

2

PC=2，
∵在△AEF中，EF=

1

2

BC=

2

，AF=

1

2

PB=

2

∴AF²+EF²=AE²，△AEF是以F为直角顶点的等腰直角三角形，
∴∠AEF=

π

4

，可得异面直线BC与AE所成的角的大小为

π

4

．

点评：本题根据一个特殊的四棱锥，求异面直线所成的角和证明线面垂直，着重考查了异面直线及其所成的角和直线与平面垂直的性质等知识，属于中档题．