Question

如图,已知直线l与抛物线x²=4y相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,点B的坐标为(2,0),(1)若动点M满足,求点M的轨迹C;(2)若过点B的直线l′(斜率不等于零）与(1)中的轨迹C交于不同的两点E,F(E在B,F之间)试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（I）动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆；（II）△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3－2，1）.

【解析】根据导数的几何意义，可以得出直线的方程，从而得出A坐标，再设设带入已知条件得出x,y的关系式；直线与椭圆的关系通常联立直线与椭圆方程得出关于x的一元二次方程，，结合韦达定理，

表达出△OBE与△OBF面积之比的代数式。

解：（I）由，  

∴直线l的斜率为，故l的方程为，

∴点A坐标为（1，0）设    则，

由得 整理，得 

∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆

（II）如图，由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=k(x－2)(k≠0)①

将①代入，整理，得

，

由△>0得0<k²<0.5.   设E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)

则 ②   令，

由此可得由②知

.

∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3－2，1）