Question

如图，已知直线l与抛物线x²=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，定点B的坐标为（2，0）．
（I）若动点M满足

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0，求点M的轨迹C；
（Ⅱ）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围．

Answer 1

分析：（I）对抛物线方程进行求导，求得直线l的斜率，设出M的坐标，利用

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0求得x和y的关系．
（II）设l'方程代入椭圆的方程，消去y，利用判别式大于0求得k的范围，设出E，F的坐标，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，令λ=

S△OBE

S△OBF

，则可推断出

BE

=λ•

BF

，进而表示出（x₁-2）•（x₂-2）和（x₁-2）+（x₂-2），最后求得k和λ的关系，利用k的范围求得λ的范围．

解答：解：（I）由x²=4y得y=

1

4

x2，
∴y′=

1

2

x．
∴直线l的斜率为y'|_x=2=1，
故l的方程为y=x-1，∴点A的坐标为（1，0）．
设M（x，y），则

AB

=（1，0），

BM

=(x-2，y)，

AM

=(x-1，y)，
由

AB

•

BM

+

2

|

AM

|=0得(x-2)+y•0+

2

•

(x-1)2+y2

=0，
整理，得

x2

2

+y2=1．
∴动点M的轨迹C为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为2

2

，短轴长为2的椭圆．
（II）如图，由题意知l'的斜率存在且不为零，
设l'方程为y=k（x-2）（k≠0）=1 ①，
将 ①代入

x2

2

+y2=1，整理，得
（2k²+1）x²-8k²•x+（8k²-2）=0，由△＞0得0＜k2＜

1

2

．
设E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），则

x1+x2= 8k2 2k2+1 x1x2= 8k2-2 2k2+1

，②
令λ=

S△OBE

S△OBF

，则，
由此可得

BE

=λ•

BF

，λ=

x1-2

x2-2

，且0＜λ＜1．
由 ②知(x1-2)+(x2-2)=

-4

1+2k2

，
(x1-2)•(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=

2

1+2k2

．
∴

λ

(1+λ)2

=

2k2+1

8

，
即k2=

4λ

(1+λ)2

-

1

2

．
∵0＜k2＜

1

2

，∴0＜

4λ

(1+λ)2

-

1

2

＜

1

2

，
解得3-2

2

＜λ＜3+2

2

．
又∵0＜λ＜1，∴3-2

2

＜λ＜1，
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3-2

2

，1）．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生基本的推理能力和基本的运算能力．