Question

如图,是以为直径的上一点,于点,过点作的切线,与的延长线相交于点是的中点,连结并延长与相交于点,延长与的延长线相交于点.

(1)求证:；

(2)求证:是的切线；

(3)若,且的半径长为,求和的长度.

 

Answer 1

【答案】

（1）根据三角形的相似来证明，

（2）要证明直线是圆的切线，只要证明圆心与切点的连线与直线垂直即可。

（3），

【解析】

试题分析：．(1)证明：是的直径，是的切线，

．又，．

易证，．

．．

是的中点，．．

(2)证明：连结．是的直径，．

在中，由（1），知是斜边的中点，

．．又，．

是的切线，．

，是的切线．

(3)解：过点作于点．，．

由(1)，知，．

由已知，有，，即是等腰三角形．

，．，，即．

，四边形是矩形，．

，易证．，即．

的半径长为，．．

解得．．，．．

在中，，，由勾股定理，得．

．解得（负值舍去）．．

［或取的中点，连结，则．易证，，故，．由，易知，．

由，解得．又在中，由勾股定理，得

，（舍去负值）．］

考点：三角形的相似，圆 的性质

点评：主要是考查了圆内的性质以及相似三角形的性质的运用，属于中档题。