Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求二面角D-CB₁-B的平面角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据所给的直三棱柱的条件，写出勾股定理得到两条线段垂直，根据侧棱与底面垂直，得到一条直线与一个平面上的两条相交直线垂直，得到线面垂直，进而得到线线垂直．
（II）以CA、CB、CC₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，写出向量，设出平面的法向量，求出法向量，根据两个向量的夹角（或其补角）的大小就是二面角D-CB₁-B的大小．
解答：解：（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∵AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC，
又 AC⊥C₁C，且BC∩C₁C=C
∴AC⊥平面BCC₁，又BC₁?平面BCC₁
∴AC⊥BC₁           
（II）以CA、CB、CC₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系
∵AC=3，BC=4，AA₁=4，
∴A（3，0，0），B（0，4，0）C（0，0，0），，
B₁（0，4，4），
∴，
平面CBB₁C₁的法向量，
设平面DB₁C的法向量，
则，的夹角（或其补角）的大小就是二面角D-CB₁-B的大小  
则由令x=4，则y=-3，z=3
∴…（10分）
，则
∵二面角D-B₁C-B是锐二面角
∴二面角D-B₁C-B的正切值为
点评：本题考查空间中直线与平面之间的垂直关系，用空间向量求解面与面的夹角，本题解题的关键是建立坐标系，把理论的推导转化成数字的运算，降低了题目的难度．