题目内容

函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)的图象关于直线x=
π
3
对称，它的最小正周期为π．则函数y=f（x）图象上离坐标原点O最近的对称中心是
(
π
12
，0)
(
π
12
，0)
．
分析：先根据函数的最小正周期求出ω的值，因为函数的对称轴为x=
π
3
，所以在对称轴左右两侧取关于对称轴对称的两个x的值，则其函数值相等，就可求出∅的值，得到函数的解析式．再根据基本正弦函数的对称中心求出此函数的对称中心即可．
解答：解：函数f（x）=Asin（ωx+∅）的周期T=
2π
w
=π，∴ω=2
∵函数f（x）=Asin（2x+∅）的图象关于直线x=
π
3
对称，∴f（0）=f（
2π
3
）
即Asin∅=Asin（
4π
3
+∅），化简得，sin∅=-
3
2
cos∅-
1
2
sinφ
3
2
sin∅=-
3
2
cos∅，tan∅=-
3
3
，
又∵|∅|＜
π
2
，∴∅=-
π
6
，∴f（x）=Asin（2x-
π
6
）
令2x-
π
6
=kπ，k∈Z，解得，x=
π
12
+
kπ
2
，k∈Z，
∴函数y=f（x）图象的对称中心是（
π
12
+
kπ
2
，0），k∈Z
其中，离坐标原点O最近的对称中心是（
π
12
，0）
故答案为（
π
12
，0）
点评：本题主要考查y=Asin（ωx+∅）的图象与性质，解题时借助基本的正弦函数的图象和性质．
练习册系列答案
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精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π2
)的部分图象如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若图象g（x）与函数f（x）的图象关于点P（4，0）对称，求函数g（x）的单调递增区间．
（2013•大连一模）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)的图象（部分）如图所示，则ω，φ分别为（　　）
当x∈[-
π
6
，
2π
3
]时，函数f(x)=Asin(ωx+θ) (A＞0，ω＞0，|θ|＜
π
2
)的图象如图所示．
（1）求函数f（x）在[-
π
6
，
2π
3
]上的表达式；
（2）求方程f(x)=
2
2
在[-
π
6
，
2π
3
]的解集．
精英家教网函数f(x)=Asin(ωx+φ)，x∈R(A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)的一段图象如图5所示：将y=f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位，可得到函数y=g（x）的图象，且图象关于原点对称，g(
π
2013
)＞0．
（1）求A、ω、φ的值；
（2）求m的最小值，并写出g（x）的表达式；
（3）若关于x的函数y=g(
tx
2
)在区间[-
π
3
，
π
4
]上最小值为-2，求实数t的取值范围．
精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，x∈R，|φ|＜
π
2
)的图象（部分）如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
A、f(x)=5sin(
π
3
x+
π
6
)
B、f(x)=5sin(
π
6
x-
π
6
)
C、f(x)=5sin(
π
6
x+
π
6
)
D、f(x)=5sin(
π
3
x-
π
6
)

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