Question

定义：称

n

p1+p2+…+pn

为n个正数p₁，p₂，…p_n的“均倒数”．若已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为

1

2n+1

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设cn=

an

2n+1

，试判定数列{c_n}的单调性；
（3）设dn=2n•an，试求数列{d_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知得

n

a1+a2+…+an

=

1

2n+1

，所以a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1）=S_n，a_n=S_n-S_n-1=4n-1当n=1时也成立，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由Cn=

4n-1

2n+1

，得Cn+1-Cn=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0，由此能判定数列{c_n}的单调性．
（3）由dn=2n•an，得Tn=3×2+7×22+11×23+…+(4n-1)×2n，利用错位相减法能求出数列{d_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）由已知得

n

a1+a2+…+an

=

1

2n+1

，
∴a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1）=S_n
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4n-1当n=1时也成立，
∴a_n=4n-1
（2）Cn=

4n-1

2n+1

，
得Cn+1-Cn=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0
故数列{C_n}单调递增；
（3）∵dn=2n•an，
∴Tn=3×2+7×22+11×23+…+(4n-1)×2n（1）2Tn=3×22+7×23+11×24+…+(4n-1)×2n+1（2）
由（1）-（2）得
-Tn=6+4×(22+23+…+2n)-(4n-1)•2n+1，
∴Tn=(4n-1)•2n+1+10．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的单调性的判定，考查数列的通项公式的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．