Question

定义：称

n

p1+p2+…+pn

为n个正数p₁，p₂，…p_n的“均倒数”．若已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为

1

2n+1

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设dn=2n•an，试求数列{d_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用给出的定义得到

n

a1+a2+…+an

=

1

2n+1

，整理得到Sn=2n2+n．分n=1和n≥2求出数列{a_n}的通项，验证n=1时满足，所以数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入dn=2n•an，然后利用错位相减法求出数列{d_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由已知定义，得

n

a1+a2+…+an

=

1

2n+1

，
∴a₁+a₂+…+a_n=n（2n+1）=S_n，即Sn=2n2+n．
当n=1时，a₁=S₁=3．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2n²+n）-[2（n-1）²+（n-1）]=4n-1．
当n=1时也成立，∴a_n=4n-1；
（Ⅱ）由a_n=4n-1，所以dn=2n•an=（4n-1）•2ⁿ．
则数列{d_n}的前n项和T_n=d₁+d₂+d₃+…+d_n．
即 Tn=3×2+7×22+11×23+…+(4n-1)×2n（1）
2Tn=3×22+7×23+11×24+…+(4n-1)×2n+1（2）
（1）-（2）得：-Tn=6+4×(22+23+…+2n)-(4n-1)•2n+1
=6+4×

4(1-2n-1)

1-2

-(4n-1)•2n+1=-10+（5-4n）•2ⁿ⁺¹．
所以 Tn=(4n-5)•2n+1+10．

点评：本题是新定义题，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，运用了分类讨论的数学思想方法，考查了利用错位相减法求数列的前n项和，考查了学生的计算能力，是中档题．