Question

已知等差数列{a_n}前n项和为S_n，且a₂=5，S₁₀=120．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）定义：称

n

p1+2p2+…+2n-1pn

为n个正数p₁，p₂，…p_n的“权倒数”．若数列{b_n}的前n项的“权倒数”为

1

an

，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意可得a₂=a₁+d=5，S₁₀=10a₁+

10×9

2

d=120，解方程组可得a₁和d，代入通项公式可得；
（2）由新定义可得b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=n（2n+1），当n≥2时，b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-2b_n-1=（n-1）（2n-1），两式相减化简即可．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由题意可得a₂=a₁+d=5，S₁₀=10a₁+

10×9

2

d=120，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
（2）由题意可得

n

b1+2b2+…+2n-1bn

=

1

an

，
∴

b1+2b2+…+2n-1bn

n

=a_n=2n+1，
即b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=n（2n+1）
故当n≥2时，b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-2b_n-1=（n-1）（2n-1）
两式相减可得2^n-1b_n=n（2n+1）-（n-1）（2n-1）=4n-1，
∴b_n=

4n-1

2n-1

点评：本题考查等差数列的求和公式，读懂新定义并转化为数列问题是解决本题的关键，属中档题．