题目内容
（理科做） 如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，∠DBC=90°，BC=BD=2，AB=1，则BC和平面ACD所成角的正弦值为
分析：以B为原点，以BC为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC和平面ACD所成角的正弦值．
解答：解：在三棱锥A-BCD中，
∵AB⊥平面BCD，∠DBC=90°，
∴以B为原点，以BC为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵BC=BD=2，AB=1，
∴B（0，0，0），A（0，0，1），C（2，0，0），D（0，2，0），
∴
=（-2，0，0），
=（-2，0，1），
=（-2，2，0），
设平面ACD的法向量为
=(x，y，z)，
则
•
=0，
•
=0，
∴
，∴
=（1，1，2），
设直线BC和平面ACD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜
，
＞|=|
|=
．
故答案为：
．
∵AB⊥平面BCD，∠DBC=90°，
∴以B为原点，以BC为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵BC=BD=2，AB=1，
∴B（0，0，0），A（0，0，1），C（2，0，0），D（0，2，0），
∴
| CB |
| CA |
| CD |
设平面ACD的法向量为
| n |
则
| n |
| CA |
| n |
| CD |
∴
|
| n |
设直线BC和平面ACD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜
| CB |
| n |
| -2 | ||
2•
|
| ||
| 6 |
故答案为：
| ||
| 6 |
点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意等价转化思想和向量法的合理运用．
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