题目内容
（理科做）
如图，点P为椭圆
+
=1上的动点，A为椭圆左顶点，F为右焦点．
（1）若∠AFP=60°，求PF所在直线被椭圆所截得的弦长|PQ|；
（2）若点M在线段PF上，且满足
+
=
，求点M的轨迹方程．
如图，点P为椭圆| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 5 |
（1）若∠AFP=60°，求PF所在直线被椭圆所截得的弦长|PQ|；
（2）若点M在线段PF上，且满足
| FM |
| 1 |
| 2 |
| PM |
| 0 |
分析：由题意可得，A（-3，0），F（2，0）
（1）由∠AFP=60°可知直线PF的倾斜角为60°或120°即直线PF的斜率，求出直线PF的方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆，根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，代入公式|PQ|=
=
=2
（2）设M（x，y），P（m，n），由
+
=
，可得M，N的坐标关系，结合
+
=1，可求点M的轨迹方程
（1）由∠AFP=60°可知直线PF的倾斜角为60°或120°即直线PF的斜率，求出直线PF的方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆，根据方程的根与系数关系可求x1+x2，x1x2，代入公式|PQ|=
| (x1-x2)2+(y1-y2)2 |
| 4(x1-x2)2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
（2）设M（x，y），P（m，n），由
| FM |
| 1 |
| 2 |
| PM |
| 0 |
| m2 |
| 9 |
| n2 |
| 5 |
解答：解：由题意可得，c2=9-5=4即c=2
∴A（-3，0），F（2，0）
（1）由∠AFP=60°可知直线PF的倾斜角为60°或120°即直线PF的斜率为
或-
以k=
为例，则直线PF的方程为y=
(x-2)，设P（x1，y1），Q（x2，y2）
联立方程
可得32x2+108x+63=0
∴x1+x2=-
，x1x2=
∴|PQ|=
=
=2
=2
=
根据对称性可知，k=-
时|PQ|=
（2）设M（x，y），P（m，n），则
+
=1，
∴
=(x-2，y)，
=(x-m，y-n)
∵
+
=
∴(x-2，y)+(
，
)=0
∴
代入到方程
+
=1，可得
+
=1
∴点M的轨迹方程
+
=1
∴A（-3，0），F（2，0）
（1）由∠AFP=60°可知直线PF的倾斜角为60°或120°即直线PF的斜率为
| 3 |
| 3 |
以k=
| 3 |
| 3 |
联立方程
|
∴x1+x2=-
| 27 |
| 8 |
| 63 |
| 32 |
∴|PQ|=
| (x1-x2)2+(y1-y2)2 |
| 4(x1-x2)2 |
| (x1+x2)2-4x1x2 |
=2
|
| 15 |
| 4 |
根据对称性可知，k=-
| 3 |
| 15 |
| 4 |
（2）设M（x，y），P（m，n），则
| m2 |
| 9 |
| n2 |
| 5 |
∴
| FM |
| PM |
∵
| FM |
| 1 |
| 2 |
| PM |
| 0 |
∴(x-2，y)+(
| x-m |
| 2 |
| y-n |
| 2 |
∴
|
| m2 |
| 9 |
| n2 |
| 5 |
| (3x-4)2 |
| 9 |
| 9y2 |
| 5 |
∴点M的轨迹方程
| (3x-4)2 |
| 9 |
| 9y2 |
| 5 |
点评：本题主要考查了椭圆的性质的应用，直线与椭圆相交关系的应用，弦长公式的应用及利用相关点法求解点的轨迹方程，属于综合性试题
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