Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的正整数m、n满足a_m+n=a_m+a_n+2mn，求a₂₀₁₄．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：令m=1，得到a_1+n=a₁+a_n+2n=a_n+2n+1，利用累加法即可得到结论．

解答： 解：∵a₁=1，且对任意的正整数m、n满足a_m+n=a_m+a_n+2mn，
∴令m=1，得到a_n+1=a₁+a_n+2n=a_n+2n+1，
即a_n+1-a_n=2n+1，
则a₂-a₁=3，
a₃-a₂=5，
a₄-a₃=7，
…
a₂₀₁₄-a₂₀₁₃=2×2013+1=4027，
两边同时相加，
则a₂₀₁₄-a₁=3+5+…+4027，
即a₂₀₁₄=1+3+5+…+4027=

1+4027

2

×2014=2014×2014=2014²

点评：本题主要考查数列递推公式的应用，利m=1，利用累加法是解决本题的关键，考查学生的计算能力．