Question

已知数列{x_n}满足，
（Ⅰ）猜想数列{x_n}的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：。

Answer 1

解：（Ⅰ）由，
由，猜想：数列{x_2n}是递减数列，
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立；
（2）假设当n=k时命题成立，即，
易知，
那么
，
即，
也就是说，当n=k+1时命题也成立；
结合（1）和（2）知，命题成立；
（Ⅱ）当n=1时，，结论成立；
当n≥2时，易知，
∴，
∴，
∴
。