Question

已知数列{xn}满足：x1∈(0，1)，xn+1=

xn( x 2 n +3)

3 x 2 n +1

(n∈N*）．
（1）证明：对任意的n∈N^*，恒有x_n∈（0，1）；
（2）对于n∈N^*，判断x_n与x_n+1的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）验证n=1时成立，然后用数学归纳法证明，假设x_k∈（0，1），证明x_k+1也满足0，1），即可证明问题成立．
（2）通过做差，根据x_n∈（0，1）说明x_n＜x_n+1（n∈N^*）即可．

解答：解：（1）证明：①当n=1时，x₁∈（0，1）成立，
②设x_k∈（0，1），则x_k+1＞0显然成立，
又xk+1-1=

xk( x 2 k +3)

3 x 2 1 +1

-1=

(xk-1)3

3 x 2 1 +1

＜0…（6分）
故x_k+1∈（0，1）也成立
由①②知对任意n∈N^*，恒有x_n∈（0，1）．…（8分）
（2）xn+1-xn=

xn( x 2 n +3)

3 x 2 n +1

-xn=

2xn(1+xn)(1-xn)

2 x 2 n +1

由于x_n∈（0，1）（n∈N^*），∴1-x_n＞0，∴

2xn(1+xn)(1-xn)

2 x 2 n +1

＞0，
故x_n与x_n+1的大小为x_n＜x_n+1（n∈N^*）．…（12分）

点评：本题是中档题，考查数列的递推关系式以及数学归纳法的应用，比较大小的基本方法--作差法的应用，考查计算能力．