Question

1．函数f（x）=a^x-xlna（0＜a＜1），若对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）≤e-1恒成立，则实数a的取值范围是[$\frac{1}{e}$，1）．

Answer 1

分析 求函数的导数，判断函数的单调性，求出函数f（x）在[-1，1]上的最大值即可，利用构造法进行求解．

解答 解：函数的导数f′（x）=a^xlna-lna=lna•（a^x-1），
∵0＜a＜1，∴lna＜0，
由f′（x）＞0得lna•（a^x-1）＞0，即a^x-1＜0，则x＞0，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得lna•（a^x-1）＜0，即a^x-1＞0，则x＜0，此时函数单调递减，
即当x=0时，函数取得最小值，f（0）=1，
当x=1，则f（1）=a-lna
当x=-1，则f（-1）=a^-1+lna，
则f（1）-f（-1）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，
设g（a）=a-$\frac{1}{a}$-2lna，
则g′（a）=1+$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{2}{a}$=（$\frac{1}{a}$-1）²＞0，
则g（a）在（0，1）上为增函数，
则g（a）＜g（1）=1-1-2ln1=0，
即g（a）＜0，
则f（1）-f（-1）＜0，
即f（1）＜f（-1），
即函数f（x）在x∈[-1，1]上的最大值为f（-1）=a^-1+lna，
若对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）≤e-1恒成立，
则f（-1）=a^-1+lna≤e-1，
即$\frac{1}{a}$+lna≤e-1，
设h（a）=$\frac{1}{a}$+lna，
则h′（a）=-$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{a}$=-（$\frac{1}{a}$$-\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∵0＜a＜1，∴$\frac{1}{a}$＞1，
∴当h′（a）＜h′（1）=0，
即h（a）=$\frac{1}{a}$+lna在0＜a＜1上为减函数，
由$\frac{1}{a}$+lna=e-1得a=$\frac{1}{e}$．
则$\frac{1}{a}$+lna≤e-1等价为h（a）≤h（$\frac{1}{e}$），
即$\frac{1}{e}$≤a＜1，
故答案为：[$\frac{1}{e}$，1）．

点评 本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，判断函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键．本题的难点在于多次构造函数，多次进行进行求导，考查学生的转化和构造能力和意识．