Question

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，C=

π

3

，a=

3

，若向量

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB），且

m

∥

n

．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求角A的大小及△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）通过向量平行，求出A，B的关系式，利用正弦定理求出b的值，通过余弦定理求出c的值；
（II）直接利用正弦定理求出A的正弦函数值，然后求角A的大小，结合C的值确定A的值，利用三角形的面积公式直接求解△ABC的面积．

解答：解：（I）∵

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB），

m

∥

n

，
∴sinB-2sinA=0，
由正弦定理可知 b=2a=2

3

，
又∵c²=a²+b²-2abcosC，
C=

π

3

，a=

3

，
所以c²=（

3

）²+（2

3

）²-2•

3

•2

3

cos

π

3

=9，
∴c=3；
（II）由

a

sinA

=

c

sinC

，得

3

sinA

=

3

sin π 3

，
∴sinA=

1

2

，A=

π

6

或

5π

6

，
又C=

π

3

，
∴A=

π

6

，
所以△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2

3

×sin

π

6

=

3 3

2

．

点评：本题是中档题，考查正弦定理与余弦定理的应用，注意向量的平行条件的应用，考查计算能力．