题目内容
15．抛物线y2=4x，O为原点，弦PQ过A（3，2）点且以A为中点．（1）求PQ的方程；
（2）过P平行x轴的直线与准线交于M，证明：Q、O、M三点共线．
分析 （1）利用点差法求出PQ的斜率，即可求PQ的方程；
（2）证明kOM=kOQ，故Q、O、M三点共线．
解答 解：（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．
∴y1+y2=4，y12=4x1，y22=4x2，则（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2），
kAB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=1，PQ的方程为y-2=x-3即x-y-1=0．…（6分）
（2）将x=y+1代入y2=4x中整理得y2-4y-4=0，y1y2=-4．而M（-1，y1），
∴kOM=-y1=$\frac{4}{{y}_{2}}$，kOQ=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，
∵y22=4x2，∴$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{2}}$，即kOM=kOQ，故Q、O、M三点共线．…（12分）
点评 本题考查直线方程，考查三点共线的证明，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | 1 |